狄拉克方程量子化¶

狄拉克方程的量子化

引言
狄拉克方程的复习
量子化的基本思想
狄拉克场的第二量子化
- 4.1 狄拉克场的模式展开
- 4.2 反对易关系的建立
能量和动量算符
费米-狄拉克统计
重正化与费米子传播子
- 费米子传播
- 重正化
结论

1. 引言¶

狄拉克方程是描述自旋为 \( \frac{1}{2} \) 的费米子（如电子）的相对论性量子力学方程。为了研究多粒子系统和场的量子现象，我们需要对狄拉克方程进行量子化，进入量子场论的框架。

2. 狄拉克方程的复习¶

狄拉克方程在自然单位制（\( \hbar = c = 1 \)）下写为：

\[ (i\gamma^\mu \partial_\mu - m)\psi(x) = 0 \]

其中：

\( \psi(x) \) 是狄拉克旋量场，依赖于时空坐标 \( x^\mu = (t, \mathbf{x}) \)。
\( \gamma^\mu \) 是狄拉克矩阵，满足反对易关系：

\[ \{ \gamma^\mu, \gamma^\nu \} = \gamma^\mu \gamma^\nu + \gamma^\nu \gamma^\mu = 2 g^{\mu\nu} \]
\( m \) 是粒子的质量。

3. 量子化的基本思想¶

量子化的目标是将经典场 \( \psi(x) \) 升级为量子场算符 \( \hat{\psi}(x) \)，使其满足适当的对易或反对易关系，从而能够描述粒子的产生和湮灭。对于费米子场，我们采用反对易关系，遵循费米-狄拉克统计。

4. 狄拉克场的第二量子化¶

4.1 狄拉克场的模式展开¶

首先，将狄拉克场 \( \psi(x) \) 展开为平面波解的叠加：

\[ \hat{\psi}(x) = \sum_{s} \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2E_{\mathbf{p}}}} \left[ \hat{b}_{\mathbf{p}}^{s} u^{s}(\mathbf{p}) e^{-ip \cdot x} + \hat{d}_{\mathbf{p}}^{s \dagger} v^{s}(\mathbf{p}) e^{ip \cdot x} \right] \]

其中：

\( E_{\mathbf{p}} = \sqrt{\mathbf{p}^2 + m^2} \)
\( u^{s}(\mathbf{p}) \) 和 \( v^{s}(\mathbf{p}) \) 分别是正能量和负能量的旋量解，\( s \) 表示自旋态。
\( \hat{b}_{\mathbf{p}}^{s} \) 和 \( \hat{d}_{\mathbf{p}}^{s} \) 分别是粒子和反粒子的湮灭算符。
\( \hat{b}_{\mathbf{p}}^{s \dagger} \) 和 \( \hat{d}_{\mathbf{p}}^{s \dagger} \) 是对应的产生算符。

4.2 反对易关系的建立¶

为了满足费米子统计，狄拉克场的量子化需要引入反对易关系：

\[ \{ \hat{\psi}_\alpha(x), \hat{\psi}_\beta^\dagger(y) \} = \delta_{\alpha\beta} \delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y}) \]

对于产生和湮灭算符，反对易关系为：

\[\begin{split} \begin{align*} \{ \hat{b}_{\mathbf{p}}^{r}, \hat{b}_{\mathbf{p}'}^{s \dagger} \} &= (2\pi)^3 \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{p}') \delta^{rs} \\ \{ \hat{d}_{\mathbf{p}}^{r}, \hat{d}_{\mathbf{p}'}^{s \dagger} \} &= (2\pi)^3 \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{p}') \delta^{rs} \end{align*} \end{split}\]

其他的反对易关系均为零。

5. 能量和动量算符¶

能量-动量张量的时间分量 \( T^{00} \) 对应哈密顿算符 \( \hat{H} \)，通过正规排序得到：

\[ \hat{H} = \int d^3 x : \hat{\psi}^\dagger(x) (-i \boldsymbol{\alpha} \cdot \nabla + m \gamma^0) \hat{\psi}(x) : \]

代入场的模式展开并使用反对易关系，哈密顿算符可以表示为：

\[ \hat{H} = \sum_{s} \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} E_{\mathbf{p}} \left( \hat{b}_{\mathbf{p}}^{s \dagger} \hat{b}_{\mathbf{p}}^{s} + \hat{d}_{\mathbf{p}}^{s \dagger} \hat{d}_{\mathbf{p}}^{s} \right) \]

这表明每个粒子和反粒子都具有能量 \( E_{\mathbf{p}} \)。

6. 费米-狄拉克统计¶

由于引入了反对易关系，狄拉克场的量子化自然地满足费米-狄拉克统计：

泡利不相容原理：一个量子态不能被两个以上的费米子占据。
费米子交换反对称性：交换两个费米子会导致波函数取反。

这与粒子在量子场论中的统计性质相一致。

7. 重正化与费米子传播子¶

费米子传播子¶

费米子场的时序产物定义费米子传播子：

\[ S_{\alpha\beta}(x - y) = \langle 0 | T \left( \hat{\psi}_\alpha(x) \hat{\bar{\psi}}_\beta(y) \right) | 0 \rangle \]

通过场的模式展开和对真空期望值的计算，可以得到传播子的明确表达式。

重正化¶

在实际计算中，如费曼图的计算，需要对出现的发散进行重正化处理。这涉及对质量、场强和耦合常数的重定义，以得到有限的、物理上有意义的结果。

8. 结论¶

通过将狄拉克场进行量子化，我们得到了描述自旋 \( \frac{1}{2} \) 粒子的量子场理论。这一理论成功地解释了费米子的产生、湮灭和相互作用，为量子电动力学（QED）和标准模型奠定了基础。

参考资料

《量子场论》，马克·斯莱尼（Mark Srednicki）著
《量子场论与标准模型》，马修·施瓦茨（Matthew D. Schwartz）著
《量子电动力学》，施温格（Julian Schwinger）著

附注

自然单位制：在高能物理中，常采用 \( \hbar = c = 1 \) 的单位制，简化公式。
正规排序（Normal Ordering）：将产生算符置于湮灭算符左侧，以消除真空能的发散。